Fonctions Symetriques, Polynomes De Schubert Et Lieux De Degenerescence

Ce cours comprend deux chapitres de nature combinatoire. Le premier est consacré aux fonctions symétriques, et aux propriétés de polynômes de Schur. Nous les étudions à l'aide, et en particulier, de manipulations sur les tableaux, définies à l'aide du procédé d'insertion de Knuth. Nous montrons également que ces polynômes représentent les caractères de représentations irréductibles des groupes symétriques. Le second chapitre est une étude de polynômes de Schubert, définis par A. Lascoux et M.-P. Schützenberger en termes de différences divisées. Ces polynômes sont associés aux permutations, et leur combinatoire est très liée à l'ordre de Bruhat sur les groupes symétriques, ainsi qu'à certaines algèbres de Hecke de ces groupes. Le troisième et dernier chapitre est au contraire d'essence géométrique, puisqu'il a pour thème l'étude des variétés de Schubert dans les grassmanniennes et les variétés de drapeaux. Le fait que les classes d'homologie de ces variétés soient représentées par des polynômes de Schur, ou de Schubert, permet de traduire géométriquement bon nombre des résultats des deux premiers chapitres. Enfin, les variétés de Schubert étant des modèles universels de certains lieux de dégénérescence de morphismes entre fibrés vectoriels, nous en déduisons des expressions des classes d'homologie de ces lieux en termes de classes caractéristiques des fibrés impliqués.