Jacques Simon

Cet ouvrage expose une théorie simple et nouvelle de l'intégration, aussi bien réelle que vectorielle, particulièrement adaptée à l'étude des EDP. Cette théorie permet d'intégrer à valeurs dans un espace E de Neumann, c'est-à-dire dans lesquelles toutes suites de Cauchy convergent, ce qui englobe les espaces de Neumann et de Fréchet, mais aussi les espaces "faibles" ou les espaces de distributions.
Nous intégrons des "mesures intégrables" ce qui équivaut aux "classes de fonctions intégrables p.p. égales" lorsque E est un espace de Fréchet. Plus précisément, à une classe f on associe la mesure j, où #lu) est l'intégrale de fu pour toute fonction test u. L'espace LP(O ; E) classique est l'ensemble des f, et le nôtre est l'ensemble des f ; ces deux espaces sont isomorphes. Cet ouvrage étudie en détail, pour tout espace de Neumann E, les propriétés de l'intégrale et de LP(O ; E) : régularisation, image par une application linéaire ou multilinéaire, changement de variable, séparation de variables multiples, compacts et les duaux.
Lorsque E est un espace de Fréchet, nous étudions l'équivalence des deux définitions et les propriétés liées à la convergence dominée.