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Mémoires de la SMF N° 176/2023
Nouveaux théorèmes d'isogénie
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- Nombre de pages123
- PrésentationBroché
- FormatGrand Format
- Poids0.345 kg
- Dimensions17,0 cm × 24,0 cm × 0,8 cm
- ISBN978-2-85629-948-7
- EAN9782856299487
- Date de parution01/03/2023
- ÉditeurSociété Mathématique de France
Résumé
Etant donné une extension de type fini K du corps des nombres rationnels et une variété abélienne C sur K, nous considérons la classe de toutes les variétés abéliennes sur K isogènes (sur K) à une sous-variété abélienne d'une puissance de C. Nous expliquons comment définir, dans cette classe et de manière naturelle, une variété abélienne Cb dont l'anneau des endomorphismes contrôle toutes les isogénies entre éléments de la classe, au sens suivant : si d désigne le discriminant de l'anneau des endomorphismes de Cb alors, pour tout couple de variétés abéliennes isogénes dans la classe, il existe une isogénie entre elles dont le noyau est d'exposant au plus d.
En outre, nous montrons que ce nombre d permet de majorer plusieurs invariants attachés à un élément quelconque A de la classe, comme le plus petit degré d'une polarisation sur A, le discriminant de son anneau d'endomorphismes ou le cardinal de la partie invariante sous Galois du groupe de Brauer géométrique de A. Lorsque K est un corps de nombres, le théorème des périodes appliqué à Cb et à sa période canonique fournit une borne explicite pour d en termes du degré de K, de la dimension de Cb et de la hauteur de Faltings de C.
Nous en déduisons donc des majorations explicites des quantités mentionnées ci-dessus pour les isogénies, polarisations, endomorphismes et groupes de Brauer, qui améliorent considérablement les résultats antérieurs.
En outre, nous montrons que ce nombre d permet de majorer plusieurs invariants attachés à un élément quelconque A de la classe, comme le plus petit degré d'une polarisation sur A, le discriminant de son anneau d'endomorphismes ou le cardinal de la partie invariante sous Galois du groupe de Brauer géométrique de A. Lorsque K est un corps de nombres, le théorème des périodes appliqué à Cb et à sa période canonique fournit une borne explicite pour d en termes du degré de K, de la dimension de Cb et de la hauteur de Faltings de C.
Nous en déduisons donc des majorations explicites des quantités mentionnées ci-dessus pour les isogénies, polarisations, endomorphismes et groupes de Brauer, qui améliorent considérablement les résultats antérieurs.
Etant donné une extension de type fini K du corps des nombres rationnels et une variété abélienne C sur K, nous considérons la classe de toutes les variétés abéliennes sur K isogènes (sur K) à une sous-variété abélienne d'une puissance de C. Nous expliquons comment définir, dans cette classe et de manière naturelle, une variété abélienne Cb dont l'anneau des endomorphismes contrôle toutes les isogénies entre éléments de la classe, au sens suivant : si d désigne le discriminant de l'anneau des endomorphismes de Cb alors, pour tout couple de variétés abéliennes isogénes dans la classe, il existe une isogénie entre elles dont le noyau est d'exposant au plus d.
En outre, nous montrons que ce nombre d permet de majorer plusieurs invariants attachés à un élément quelconque A de la classe, comme le plus petit degré d'une polarisation sur A, le discriminant de son anneau d'endomorphismes ou le cardinal de la partie invariante sous Galois du groupe de Brauer géométrique de A. Lorsque K est un corps de nombres, le théorème des périodes appliqué à Cb et à sa période canonique fournit une borne explicite pour d en termes du degré de K, de la dimension de Cb et de la hauteur de Faltings de C.
Nous en déduisons donc des majorations explicites des quantités mentionnées ci-dessus pour les isogénies, polarisations, endomorphismes et groupes de Brauer, qui améliorent considérablement les résultats antérieurs.
En outre, nous montrons que ce nombre d permet de majorer plusieurs invariants attachés à un élément quelconque A de la classe, comme le plus petit degré d'une polarisation sur A, le discriminant de son anneau d'endomorphismes ou le cardinal de la partie invariante sous Galois du groupe de Brauer géométrique de A. Lorsque K est un corps de nombres, le théorème des périodes appliqué à Cb et à sa période canonique fournit une borne explicite pour d en termes du degré de K, de la dimension de Cb et de la hauteur de Faltings de C.
Nous en déduisons donc des majorations explicites des quantités mentionnées ci-dessus pour les isogénies, polarisations, endomorphismes et groupes de Brauer, qui améliorent considérablement les résultats antérieurs.
A propos de Eric Gaudron