Espaces quadratiques, euclidiens, hermitiens

Cet ouvrage comprenant 150 exercices s'adresse aux étudiants de premier cycle ainsi qu'à ceux de licence ou de maîtrise de mathématiques. Il se révélera un outil particulièrement utile pour le candidat aux concours du CAPES ou de l'agrégation. La notion d'Espace quadratique en est la base et se déclinera de deux façons : avec les espaces vectoriels réels et les espaces vectoriels complexes. Un espace quadratique est un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique, i.e.
la donnée d'un polynôme homogène de degré 2. Cela conduit à la notion d'orthogonalité, de bases orthogonales qui seront déterminées par l'algorithme de Gauss. La décomposition d'un espace quadratique en somme directe orthogonale d'un hyperbolique et d'un défini est démontrée. Le groupe orthogonal, i.e. le groupe des automorphismes qui préservent la forme bilinéaire symétrique est décrit, en particulier par les générateurs simples que sont les symétries orthogonales hyperplanes. Les espaces quadratiques réels sont parfaitement classifiés par la loi d'inertie de Sylvester.
L'Espace vectoriel euclidien est l'espace pour lequel la forme bilinéaire symétrique induit une norme, il est abordé de façon élémentaire. Tout automorphisme orthogonal se réduit essentiellement à des rotations en dimension 2 et ici la notion d'angle permet une description concrète ; celle-ci est particulièrement achevée en dimension 2 et 3. Les propriétés topologiques du groupe orthogonal, son groupe dérivé et les sous-groupes distingués sont déterminés.
Les propriétés de réduction des endomorphismes normaux, symétriques et anti-symétriques sont présentées avec leurs conséquences. Il n'y a pas de forme bilinéaire symétrique qui induise sur un espace vectoriel complexe une norme, aussi faut-il, pour cet objectif, y introduire la notion de forme hermitienne. Celle qui induit une norme conduit à la notion d'Espace vectoriel hermitien avec un certain nombre de propriétés analogues au cas euclidien.
Le groupe unitaire, i.e. le groupe des automorphismes qui préservent la structure hermitienne est facile à étudier puisque ceux-ci sont orthogonalement diagonalisables. Les endomorphismes normaux, hermitiens, anti-hermitiens ont aussi leur place ici et les présentations sont analogues au cas euclidien. Les exercices qui terminent chaque chapitre abordent des sujets qui intéresseront le lecteur curieux et aiguiseront sa sagacité ; on pourra y trouver la décomposition polaire, de Cartan ou d'Iwasawa, les théorèmes de Bieberbach sur les groupes cristallographiques, les homomorphismes de groupes euclidiens, unitaires, et beaucoup de résultats sur les sous-groupes de Gln (C).