Maillage et adaptation

Ce volume concerne les méthodes numériques et plus spécifiquement les aspects maillage et adaptation inhérents à ce type de méthode. Il comprend des contributions de nature différente provenant de diverses sources, tant en France qu'à l'étranger. La simulation numérique de tout problème formulé via des équations aux dérivées partielles (EDP) est de plus en plus répandue au niveau industriel tant dans les grosses sociétés que dans les PME-PMI.
Tout se simule, tout se calcule et ce pour toutes sortes de problèmes. La mécanique au sens large, mécanique du solide et des matériaux ou mécanique des fluides, la thermique, l'électromagnétisme, l'optimum design, sont des disciplines où le recours aux simulations numériques est routinier. Ceci n'est pas sans poser un certain nombre de problèmes dont le premier a trait à la construction de supports spatiaux discrets (les maillages ou entités équivalentes) sur lesquels seront calculées des solutions approchées (discrètes) du problème considéré.
En particulier, les méthodes d'éléments ou de volumes finis s'appuient sur un maillage du domaine de calcul associé à la géométrie et à la physique du problème étudié. La construction de manière entièrement automatique de maillages, en particulier pour des géométries arbitraires, est un exercice difficile. De nombreuses contraintes doivent être satisfaites, en particulier, sur la qualité attendue.
Automatiser un processus de maillage est cependant déjà largement acquis, en utilisant l'une ou l'autre des méthodes disponibles. Par contre, cette demande d'automatisation étant jugée satisfaite, on s'oriente vers une exigence d'automatisation plus globale, il s'agit de l'automatisation du processus de calcul tout en assurant une qualité donnée à la solution obtenue. Cette qualité s'exprime par un contrôle, indiqué a priori (par exemple, via une tolérance relative), de la précision atteinte.
Cette question change quelque peu le point de vue, le maillage automatique n'est plus une fin en soi, le but est la solution "automatique" avec garantie de précision. Par suite, les ingrédients nécessaires à la mise en oeuvre d'un tel processus concernent à la fois la partie construction de maillage et la partie analyse de la solution. En bref, on construit un maillage, on calcule la solution associée et on analyse cette solution au moyen d'un estimateur d'erreur a posteriori.
Cette estimation est alors traduite en termes de directives de maillage et on reconstruit (ou modifie) le maillage afin d'obtenir un nouveau maillage qui suive ces spécifications. Utilisant ce nouveau maillage, on recalcule la solution associée et, le cas échéant, on développe un certain nombre de pas afin d'obtenir la précision souhaitée après quelques itérations. Traiter correctement un tel processus global nécessite de revoir les méthodes classiques de construction de maillage afin d'en déduire des méthodes contrôlées dont le but est de produire des maillages adaptés (au regard du contrôle spécifié).
De plus, ce contrôle venant de l'estimateur d'erreur choisi, ce dernier aspect prend toute son importance. Le but de ce volume est donc de traiter cette problématique.