Manuel de mathématiques MPSI-PCSI - Volume 1, Analyse et géométrie différentielle

Ce manuel présente la partie Analyse et Géométrie différentielle des programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles MPSI et PCSI. Il s'adresse donc aux étudiants de ces classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe. Cet ouvrage est constitué : - d'un exposé du cours et de ses démonstrations ; - d'un grand nombre d'exemples et exercices. Les uns, présents dans le corps de l'exposé, sont corrigés et montrent des applications et des techniques qu'il convient de maîtriser au même titre que le cours. Les autres, non corrigés, sont en fin de chapitre et doivent faire l'objet de recherches. Conformément aux programmes 2003, on commence par un exposé sur les fonctions usuelles, les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre (à coefficients constants), ceci dans leur double version continue et discrétisée par la méthode d'Euler, puis par l'étude et la construction des courbes paramétrées, et notamment des coniques. Dans une seconde partie, on approfondit l'analyse à une variable avec les notions de limites, de continuité, de dérivabilité, puis avec le calcul différentiel et intégral et ses applications aux développements limités et à l'étude métrique des courbes planes. Dans une dernière partie, on s'initie enfin à l'analyse à plusieurs variables avec les fonctions de Rp dans R (ou champs de scalaires), les intégrales multiples, et enfin quelques notions sur les fonctions de Rp dans Rp (ou champs de vecteurs) et les intégrales curvilignes.