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Les deux premiers volumes sont consacrés aux fonctions dans R ou C, y compris la théorie élémentaire des séries et intégrales de Fourier et une partie de celle des fonctions holomorphes. L'exposé, non strictement linéaire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversité des voies d'accès aux principaux résultats afin de familiariser le lecteur avec les méthodes de raisonnement et idées fondamentales plutôt qu'avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules.
Les volumes 3 et 4 traitent principalement des fonctions analytiques (théorie de Cauchy, théorie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul différentiel sur les variétés, avec un exposé de l'intégrale de Lebesgue, en suivant d'assez près le célèbre cours donné longtemps par l'auteur à l'Université Paris VII. On reconnaîtra dans ce nouvel ouvrage le style inimitable de l'auteur, et pas seulement par son refus de l'écriture condensée en usage dans de nombreux manuels.
