Méthodes mathématiques en analyse du signal

Ce cours aborde les bases de la théorie du traitement du signal. Il explicite les méthodes pour le traitement analogique et numérique du signal. La première partie expose les aspects déterministes. Les transformées de Laplace et de Fourier, le développement en série de Fourier et la transformée en z sont tout d'abord présentés. Puis on étudie les transformations intégrales linéaires des signaux, les filtres linéaires de convolution, les filtres dynamiques et les filtres classiques (passe-bas, passe-bande, etc.), l'association de certaines transformations intégrales aux équations différentielles, la théorie de l'approximation des signaux, enfin, le problème central de l'échantillonnage des signaux déterministes. La deuxième partie traite des aspects aléatoires du traitement du signal. Les résultats les plus importants de la théorie des probabilités, des processus et des champs stochastiques sont explicités. On y introduit également les notions de stationnarité, de processus de Markov et de diffusion, d'équation de Fokker-Planck, de bruits blancs, de processus du second ordre, des transformations intégrales des processus et du filtrage linéaire des processus. Les méthodes de représentation des processus sont ensuite étudiées (développement de Karhunen-Loeve, représentation intégrale, mesure stochastique et échantillonnage des processus avec utilisation des filtres anti-repliement). L'estimation des caractéristiques du second ordre des processus non stationnaires et stationnaires est ensuite explicitée. Enfin, dans une troisième partie, de nombreux problèmes et exercices corrigés permettront au lecteur d'assimiler l'ensemble des notions présentées. Il est amené à acquérir, à partir d'un cadre mathématique simple et rigoureux, toutes les bases nécessaires à la résolution des problèmes classiques en traitement du signal. L'ouvrage lui permettra d'aborder ensuite sans difficulté des applications très spécialisées. L'originalité du livre réside dans l'approche strictement mathématique du traitement du signal. Ce cours est cependant tout à fait accessible aux scientifiques non-mathématiciens et a été rédigé à leur intention.